bacumulation/math/multiplicative-infinitesimals.md di main · Ericson2314/bacumulation · GitHub

Ini berlaku untuk Kalkulus Perkalian, tetapi karena ini sebagian besar merangkum karya orang lain, sejauh yang saya tahu ini asli, jadi saya membaginya.

Sangat kecil disukai, meskipun bersifat formal (di sebagian besar situasi), disukai di beberapa situasi, seperti menyelesaikan persamaan diferensial secara informal, dan tugas-tugas terapan lainnya. (Menarik untuk bertanya mengapa, bagaimana hal tersebut dapat dibuat formal, dan pertanyaan lainnya, namun saya tidak akan melakukannya di sini.) Hal tersebut bersifat “tambahan”, dalam beberapa hal utama:

1. Angka tersebut mendekati 0, yang merupakan identitas penjumlahan, dan “bukan bilangan perkalian”

2. Mereka berhubungan dengan pengurangan dalam batas.

3. Oleh karena itu, bilangan-bilangan tersebut cukup untuk kalkulus penjumlahan biasa, tetapi tidak untuk kalkulus perkalian yang ditautkan di atas.

Untuk yang pertama, intuisi untuk bilangan sangat kecil beraturan adalah bilangan yang sangat kecil, lebih kecil dari bilangan real bukan nol mana pun. Jika kita mengalikan suatu bilangan real dengan suatu bilangan yang sangat kecil, kita selalu mendapatkan bilangan yang sangat kecil lagi, tidak pernah bilangan real, sama seperti ketika kita mengalikan suatu bilangan real dengan 0, kita selalu mendapatkan nol. 0 dan bilangan sangat kecil adalah “bukan bilangan perkalian” seperti bilangan real bukan nol, karena bilangan tersebut melambangkan “titik yang tidak dapat kembali lagi”.

Untuk yang kedua, mari kita mulai dengan memperluas notasi Leibniz (kuasi-) untuk derivasi ke dalam definisi limit konvensional.

$$frac {df(x)} {dx} = lim_{a ke x} frac {f(a) – f(x)} {a – x}$$

Perhatikan bahwa setiap $dE$Di mana $E$ adalah a metavariabelmenjadi $E(x peta ke a) – E$yaitu kita kurangi $E$ dari “hampir $E$“, tapi menggantikan $x$ dengan $a$ pada semester pertama. (Memformalkannya secara persis mungkin lebih sulit, jadi saya tidak akan mencobanya.) Ini adalah pengurangan yang saya maksud.

Definisi terkait dalam kalkulus perkalian terkadang menggunakan pengurangan ini, tetapi juga menggunakan hasil bagi alih-alih perbedaan ekspresi yang melibatkan variabel limit dan kemana arahnya. Dengan kata lain, Mereka memiliki istilah seperti $E(x peta ke a) / E$bukan hanya istilah seperti $E(x peta ke a) – E$. Untuk suku-suku sebelumnya, bilangan normal yang sangat kecil tidak akan berfungsi: jika selisihnya menjadi nol pada batasnya, maka selisihnya menjadi satu. Oleh karena itu, bilangan sangat kecil yang normal tidak cukup untuk kalkulus perkalian gaya Leibnitz (tanpa batas); kita akan membutuhkan sesuatu yang lain.

Tapi misalkan kita punya sesuatu untuk itu $E(x peta ke a) / E$ hasil bagi? Jumlah ini mungkin bukan angka yang sangat kecil, namun akan sangat mendekati angka tersebut $1$cara yang sangat kecil yang normal sangat dekat $0$.
$1$ adalah identitas perkalian sama seperti $0$ adalah identitas tambahan; ini pertanda baik bahwa kita sedang menuju gagasan serupa. Tanpa mengetahui secara pasti apa yang kita miliki, mari berikan gagasan kita beberapa sintaksis: sebut saja benda yang sangat kecil itu bersesuaian dengan $E(x peta ke a) / E$ $qE$. Sekarang, kita sulit mendefinisikannya $q$ sintaksis dengan analog yang hanya lambaian tangan untuk normal $d$ sintaksisnya, tetapi saya bisa melakukannya dengan cara yang berbeda.

Dalam tulisan saya tentang elastisitas, saya menulis tentang “gangguan multiplikatif”; Jika sebuah bilangan sangat kecil biasa merupakan sebuah “gangguan tambahan” — bayangkan perbedaannya sebagai mula-mula sedikit bergeser, dan kemudian kembali ke posisi yang hampir tetapi tidak persis sama, ini akan menjadi sebuah “perkalian”, bukan? Saya juga menyimpulkan dengan menunjukkan $dlnx$ di salah satu artikel Wikipedia tentang elastisitas. Jika $d$ “membuat ekspresi mendekati 0”; dengan logaritma, itu akan membuat $x$ dekat dengan 1. Itu $q$ yang kami coba definisikan juga melakukan hal itu. Itu selalu terjadi (tidak diperlukan batasan untuk itu $a ke x$ diperlukan agar ini menjadi kenyataan) itu

$$ln a – ln x = ln frac ax$$

Atas dasar ini, mari menyatakan (sebagai aksioma) itu

$$d ln x = ln qx$$

dari situ kita juga bisa mendefinisikannya $q$ sekaligus:

$$qx = exp(ln qx) = exp(d ln x)$$

Perhatikan bagaimana hubungan serupa yang kita miliki dengan turunan perkalian dan integral, sesuatu dalam bentuk $m = exp circ a circ exp^{-1}$di mana versi perkaliannya ($m$) sama dengan versi aditif konvensional ($a$), disusun dengan $pengalaman$ setelah dan $exp^{-1}$ sebelum.

Dengan $q$ sekarang sudah jelas, kita bisa mulai menyimpulkan beberapa hal. Pertama, sebagai pemanasan, mari kita cari $pengalaman$ berlawanan dengan aksioma awal kita:

$$d ln x = ln qx$$

pengganti $pengalaman(x)$ untuk $x$:

$$d ln exp(x) = ln q exp(x)$$

batalkan di sebelah kiri:

$$dx = ln q exp(x)$$

menerapkan $pengalaman$ ke kedua sisi:

$$exp(dx) = q exp(x)$$

membalik:

$$q exp(x) = exp(dx)$$

Sekarang kita mempunyai persamaan untuk keduanya bagaimana kita dapat menarik keluar a $ln$ lebih dari a $d$mengubahnya a $q$dan bagaimana kita dapat mengeluarkan sebuah $pengalaman$ lebih dari a $q$mengubahnya menjadi a $d$.

Yang lebih menarik lagi, kita juga dapat memperkenalkan notasi gaya Leibnitz untuk konsep yang telah kita bahas di tempat lain:

Yang terakhir ini bekerja dengan baik untuk teorema dasar kalkulus:

$${huge mathscr{P}} kiri( sqrt(dx) {qf(x)} kanan)^{dx}$$
$${besar mathscr{P}} qf(x)$$
$$f$$

Bahan untuk dipikirkan!

Saya sudah check out Analisis tidak standar Dan Bilangan hiperreal di Wikipedia, yang sudah lama ingin saya lakukan, untuk melihat apakah perkalian yang sangat kecil ini sudah “ditangani” olehnya. Menurutku memang begitu. Analisis nonstandar mempunyai pengertian tentang lingkaran cahaya. Lingkaran cahaya di sekitar $0$ hanyalah hal yang sangat kecil. Lingkaran cahaya di sekitar $1$ haruslah perkalian yang sangat kecil.

Saya pikir berikut dari definisi $q$ kami berikan di atas:

$$qx = exp(d ln x)$$

kemudian gunakan definisi analisis tidak standar $d$:

$$qx = expkiri(frac 1 xdxkanan)$$

lalu tarik keluar $dx$:

$$qx = expkiri(frac 1 xkanan)^{dx}$$

Itu tidak mudah untuk dibaca, tapi saya cukup yakin akan hal itu $mathop{text{st}}(dx) = 0$lalu untuk semua $x bukan 0$:

$$begin{align} mathop{text{st}}(qx) &= mathop{text{st}}left(expleft(frac 1 xright)^{dx} kanan) \ &= expleft(frac 1 xright)^0 \ &= 1 end{align}$$